Мартин Гарднер: Казнь врасплох и связанный с ней логический парадокс

    "Появился великолепный новый парадокс", — так начиналась мало понятная для непосвященного статья Майкла Скривена в июльском номере британского философского журнала Mind за 1951 год. Скривен занимал кафедру философии науки в Университете штата Индиана, и в подобных вопросах с его мнением нельзя было не считаться. Парадокс действительно оказался великолепным. Достаточное тому подтверждение — более двадцати статей о нем в различных научных журналах. Авторы, среди которых были известные философы, сильно разошлись во мнениях относительно того, что следует считать решением парадокса. За многие годы ни к какому соглашению прийти не удалось, так что парадокс и поныне является предметом горячих споров.

    Неизвестно, кому первому пришла в голову идея парадокса. Согласно У. В. Куайну, логику из Гарвардского университета, автору одной из упоминавшихся выше статей, впервые об этом парадоксе заговорили в начале сороковых годов нашего века, нередко формулируя его в виде головоломки о человеке, приговоренном к смертной казни через повешение.

    Осужденного бросили в тюрьму в субботу.
— Тебя повесят в полдень, — сказал ему судья,— в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.    Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осужденный вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоем, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.
— Неужели не понятно? — воскликнул он.— Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!
— Как? Ничего не понимаю,— пробормотал узник.
— Сейчас объясню. Очевидно, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота — последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в субботу. Таким образом, о дне казни тебе бы стало известно до официального уведомления в субботу утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.
— Верно, — согласился заключенный.
— Итак, суббота, безусловно, отпадает,— продолжал адвокат,— поэтому пятница остается последним днем, когда тебя могут повесить. Однако и в пятницу повесить тебя нельзя, ибо после четверга осталось бы всего два дня — пятница и суббота. Поскольку суббота не может быть днем казни, повесить тебя должны лишь в пятницу. Но раз тебе об этом станет известно еще в четверг, то приказ судьи опять будет нарушен. Следовательно, пятница тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя еще могли бы казнить, это четверг. Однако четверг тоже не годится, потому что оставшись в среду живым, ты сразу поймешь, что казнь должна состояться в четверг.
— Все понятно! — воскликнул заключенный, воспрянув духом.— Точно так же я могу исключить среду, вторник и понедельник. Остается только завтрашний день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня!

    Короче говоря, приговор внутренне противоречив. С одной стороны, в двух утверждениях, из которых он состоят, нет ничего логически противоречивого, а с другой — привести его в исполнение, оказывается, невозможно. Именно так представлял себе парадокс Д. Дж. О'Коннор, философ из Эксетерского университета, первым опубликовавший статью об этом парадоксе (Mind, July 1948). В формулировке О'Коннора фигурировал офицер, объявляющий своим подчиненным о том, что на следующей неделе должна состояться тревога, о которой никто не должен знать заранее вплоть до 18.00 того дня, на который она назначена.

"Как легко видеть,— писал О'Коннор,— из самого определения следует, что никакой тревоги вообще быть не может". О'Коннор, по-видимому, имел в виду, что объявить тревогу, не нарушив при этом вышеприведенного условия, невозможно. Аналогичного мнения придерживаются и авторы более поздних статей.

    Если бы парадокс этим исчерпывался, то можно было бы присоединиться к мнению О'Коннора, которому вся проблема показалась "сущим пустяком". Однако Скривен первым заметил нечто, ускользнувшее от внимания остальных авторов и делающее проблему далеко не такой простой. Чтобы уяснить суть замечания Скривена, вернемся к истории с человеком, брошенным в тюрьму. Безупречными логическими рассуждениями его, казалось бы, убедили в том, что, не нарушив приговора, казнь совершить невозможно. И вдруг, к немалому удивлению осужденного, в четверг утром в камеру является палач. Осужденный, конечно, этого не ждал, но самое удивительное, что приговор оказался совершенно точным — его можно привести в исполнение в полном соответствии с формулировкой. "Мне кажется,— пишет Скривен,— что именно грубое вторжение внешнего мира, разрушающее тонкие логические построения, придает парадоксу особую пикантность. Логик с трогательным постоянством произносит заклинания, которые в прошлом приводили к нужному результату, но чудовище-реальность на этот раз отказывается повиноваться и продолжает следовать своим путем".
    Чтобы разобраться в тех лингвистических трудностях, с которыми мы встречаемся в этом парадоксе, следует привести две новые его формулировки, эквивалентные первой. Это поможет нам исключить различного рода факторы, не относящиеся к делу и лишь затемняющие конечный результат: возможность изменения приговора судьей, смерть заключенного до казни и т.д.

_ Рассмотрим первый вариант парадокса, предложенный Скрявеном, —парадокс с яйцом-сюрпризом.

    Представьте себе, что перед вами стоят десять коробок, перенумерованных числами от 1 до 10. Вы отворачиваетесь, а ваш приятель кладет в одну из коробок яйцо и просит вас повернуться обратно. "Открывай все коробки по очереди,— говорит он,— сначала первую, потом вторую и так по порядку до десятой. Гарантирую, что в одной из них лежит яйцо-сюрприз. Назвав яйцо сюрпризом, я имею а виду, что ты не сможешь узнать номер коробки с яйцом до тех пор, пока не откроешь эту коробку и сам не увидишь яйца".

    Предположим, что ваш приятель всегда говорит только правду. Выполнимо ли тогда его предсказание? Очевидно, нет. Он наверняка не положит яйцо в коробку 10, потому что, открыв первые девять коробок и ничего в них не обнаружив, вы сможете с уверенностью утверждать, что яйцо лежит в единственной оставшейся коробке. Это противоречило бы предсказанию вашего приятеля, поэтому десятая коробка исключается. Рассмотрим теперь, что получилось бы, если бы ваш приятель по несообразительности спрятал яйцо в девятую коробку. Первые восемь коробок тогда окажутся пустыми, и перед вами останутся две закрытые коробки: девятая и десятая. В десятой коробке яйца быть не может, следовательно, оно лежит в коробке 9. Вы открываете девятую коробку, и яйцо, конечно, оказывается там. Однако ясно, что яйцо нельзя считать сюрпризом. Таким образом, мы опять доказали, что ваш приятель неправ. Коробка 9 тоже исключается. Но именно в этот самый момент вы и "отрываетесь от реальности": с помощью аналогичных рассуждении можно исключить сначала восьмую коробку, затем седьмую и так далее, вплоть до первой! Наконец, будучи абсолютно уверенным в том, что все десять коробок пустые, вы начинаете их по очереди открывать и... Что это белеет в коробке 5? Яйцо-сюрприз! Итак, вопреки всем вашим рассуждениям предсказание вашего друга оправдалось. Значит, ошиблись вы, но в чем?

    Чтобы придать парадоксу еще более "парадоксальную" форму, рассмотрим третий вариант его формулировки, который можно назвать парадоксом с непредсказуемой картой. Представьте себе, что за столиком напротив вас сидит ваш приятель и держит в руках тринадцать карт масти пик. Перетасовав эти карты и расправив их в руке веером, картинками к себе, он выкладывает на стол одну закрытую карту. Вы должны медленно перечислить по порядку все тринадцать карт, начиная с туза (Туз соответствует 1, валет — 11, дама — 12 и король — 13 очкам.) и кончая королем. Когда вы назовете лежащую на столе карту, ваш приятель должен сказать "да", во всех остальных случаях он говорит "нет".

— Ставлю тысячу долларов против десяти центов, — говорит он,— что ты не сможешь определить эту карту до тех пор, пока я не скажу "да".

    Предположим, что ваш приятель сделает все от него зависящее, чтобы не лишиться денег. Может ли он при этом условии положить на стол короля пик? Очевидно, что нет. После того как вы перечислите первые двенадцать карт, останется только король, и вы с полной уверенностью его назовете. Может быть, перевернутая карта — дама? Нет, потому что после того, как будет назван валет, останутся лишь две карты: король и дама. Поскольку короля вы уже исключили, неизвестная карта может быть только дамой. Казалось бы, все правильно, и вы опять выигрываете 1000 долларов. Аналогично исключаются и все остальные возможности. Выходит, что независимо от карты вы ее знаете наперед. Приведенная выше цепочка умозаключении кажется неуязвимой. С другой стороны, очевидно, что, глядя на оборотную сторону перевернутой карты, вы не имеете ни малейшего представления о том, что это за карта!

    Даже в упрощенном варианте этою парадокса (с двумя днями, с двумя коробками или всего с двумя картами) трудно отделаться от ощущения какой-то весьма своеобразной неясности. Пусть у вашего приятеля есть только туз и двойка. Если он положит на стол двойку, то вы действительно выигрываете. Назвав туза, вы его тем самым исключили и с полной уверенностью можете заявить: "Я пришел к выводу, что на столе лежит двойка". Делая такое заключение, вы исходите из предположения, что справедливо следующее утверждение: "Лежащая передо мной карта должна быть либо тузом пик, либо двойкой пик". (В трех соответствующих вариантах парадокса предполагается, что осужденный будет повешен, карты будут только такими, какие назвал ваш приятель, и что в одной из коробок непременно лежит яйцо.) Вы ни в чем не погрешили против логики и вправе надеяться, что вам удастся выиграть у вашего приятеля 1000 долларов.

    Предположим, однако, что ваш приятель положил па стол туза пик. Можете ли вы сразу сообразить, что выложенная им карта — именно туз? Безусловно, ваш приятель не стал бы рисковать 1000 долларов, положив двойку. Поэтому неизвестная карта должна быть тузом. Вы произносите эти слова вслух и слышите в ответ "да". Есть ли у вас основания считать, что вы выиграли пари?

    Как ни странно, но таких оснований у вас нет. Пытаясь разобраться в причинах столь странного утверждения, мы подходим к самой сути нашего парадокса. Ваше предыдущее заключение основывалось на том, что карта может быть либо тузом, либо двойкой, поэтому если неизвестная карта не является тузом, то она обязательно должна быть двойкой. Однако здесь вы использовали еще одно дополнительное предположение:
    Вы считаете, что ваш приятель говорит правду или, попросту говоря, делает все от него зависящее, чтобы не потерять 1000 долларов. Но если вы путем логических рассуждении установите, что на столе лежит именно туз, то спасти свои 1000 долларов ваш приятель не сможет, даже если он выложит не двойку, а туза. Поскольку ваш приятель в любом случае лишается своих денег, у него нет оснований предпочитать одну карту другой. Стоит это понять, как ваша уверенность в том, что на столе лежит туз, сразу становится весьма шаткой. Правда, вы поступаете вполне разумно, держа пари, что неизвестная карта — туз, потому что она на самом деле может оказаться тузом. Но ведь для выигрыша требуется гораздо больше: вы должны доказать, что пришли к своему выводу с помощью "железной" логики, а это невозможно. Таким образом, в ваших рассуждениях содержится порочный круг. Сначала вы предполагаете, что ваш приятель предсказал событие правильно, и, опираясь на свое предположение, делаете вывод, согласно которому неизвестная карта должна быть тузом. Но если на столе лежит туз, то ваш приятель ошибся в своем предсказании и, следовательно, вам не на что опереться при отгадывании перевернутой карты. Но и это еще не все. Раз вы не можете определить карту, то предсказание вашего друга верно. Следовательно, вы вернулись в исходную точку, и весь круг начинается сначала. В этом смысле ситуация напоминает порочный круг в рассуждениях, связанных с известным парадоксом предложенным впервые английским математиком П. Э. Б. Журденом в 1913 году. В рассужденнях, аналогичных описанным выше, вы ходите по кругу, все время возвращаясь в исходную позицию: определить логическим путем, какая карта лежит на столе, невозможно. Не исключено, конечно, что вы ее угадаете. Зная своего приятеля, вы можете прийти к заключению, что на столе, вероятнее всего, лежит туз. Однако ни один уважающий себя логик не назовет схему ваших умозаключений безукоризненно строгой.

    Вся необоснованность ваших умозаключений становится особенно наглядной на примере с десятью коробками. Сначала вы "делаете вывод", что яйцо лежит в коробке 1, но эта коробка оказывается пустой. Отсюда вы заключаете, что яйцо положено в коробку 2, но и в ней не находите ничего. Это наталкивает вас на мысль, что яйцо лежит в коробке 3, и т. д. (Все происходит так, словно за секунду до того, как вы заглянете в коробку, где, по вашему мнению, должно лежать яйцо, кто-то совершенно непонятным образом перекладывает его в коробку с большим номером.) Наконец вы находите долгожданное яйцо в коробке 8. Можно ли теперь назвать это событие заранее предвиденным, а все ваши рассуждения считать безупречными с точки зрения логики? Безусловно, нет, потому что вы восемь раз воспользовались одним и тем же методом и в семи случаях получили неверный результат. Легко понять, что яйцо может быть в любой коробке, в том числе и в самой последней.
    Даже после того как вы открыли 9 пустых коробок, вопрос о том, можно ли логическим путем прийти к заключению о местонахождении яйца (находится ли оно в коробке 10 или нет), остается открытым. Приняв лишь одно предположение ("Одна из коробок непременно содержит яйцо"), вы, разумеется, будете вправе утверждать, не вступая в противоречие с законами логики, что яйцо находится в коробке 10. В этом случае обнаружение яйца в коробке 10 — событие, предсказуемое заранее, а утверждение о том, что будто его нельзя предсказать, ложно. Приняв еще одно предположение (что ваш приятель говорит правду, когда утверждает, что "координаты" яйца, то есть номер коробки с яйцом, нельзя предсказать заранее), вы лишите себя возможности делать какие-либо логические выводы, ибо, согласно первому предположению, яйцо должно находиться в коробке 10 (и вы можете утверждать это заранее), а согласно второму — вы должны обнаружить яйцо внезапно для себя. Поскольку прийти к какому-либо заключению нельзя, обнаружение яйца в коробке 10 следует считать непредсказуемым заранее событием, а оба предположения — правильными, но их "реабилитация" наступит не раньше, чем вы откроете последнюю коробку и обнаружите в ней яйцо.

    Проследим еще раз решение парадокса, придав ему на этот раз форму парадокса о человеке, приговоренном к повешению. Теперь мы знаем, что судья сформулировал приговор правильно, а узник рассуждал неверно. Ошибочным являлся самый первый шаг в его рассуждении, когда он полагал, будто его не могут повесить в последний день недели. На самом же деле у осужденного нет оснований делать какие бы то ни было заключения о своей судьбе даже в вечер накануне казни (ситуация здесь та же, что и в парадоксе с яйцом, когда остается закрытой одна последняя коробка). Эта мысль играет решающую роль в работе известного логика Куайна, написанной им в 1953 году.
    Куайн сообщает, как бы он рассуждал на месте узника. Следует различать четыре случая: первый — меня повесят завтра днем, и я знаю об этом уже сейчас (но на самом деле я этого не знаю); второй — меня не повесят завтра днем, и я знаю об этом уже сейчас (но на самом деле я этого не знаю); третий — меня не повесят завтра днем, но сейчас я об этом не знаю и, наконец, четвертый — меня повесят завтра днем, но сейчас я об этом не знаю.
    Два последних случая являются возможными, последний из них означал бы приведение приговора в исполнение. В такой ситуации незачем загадывать вперед и ловить судью на противоречиях. Остается лишь ждать, надеясь на лучшее.

    Шотландский математик Томас Г. О'Бейрн в статье с несколько парадоксальным названием "Может ли неожиданное никогда не произойти?" (The New Scientist, May 25, 1961.) дает великолепный анализ обсуждаемого парадокса. Как показывает О'Бейрн, ключ к решению парадокса лежит в осознании одного довольно простого обстоятельства: один человек располагает сведениями, которые позволяют ему считать правильным предсказание какого-то события в будущем, другой ничего не может сказать о правильности предсказания до тех пор, пока это событие не произойдет. Нетрудно привести простые примеры, подтверждающие мысль О'Бейрна. Пусть кто-нибудь, протягивая вам коробку, говорит: "Откройте её — внутри яйцо". Он-то знает, что его предсказание верно, вы же не знаете этого до тех пор, пока не откроете коробки.

    То же самое можно сказать о нашем парадоксе, И судья, и человек, кладущий яйцо в одну из коробок, и наш приятель с тринадцатью картами — каждый из них знает, что его предсказание должно исполниться. Однако их слова с предсказанием не могут служить основанием для цепочки рассуждении, приводящей в конечном счете к опровержению самого предсказания. Именно здесь кроется то бесконечное блуждание по кругу, которое, подобно фразе на лицевой стороне карточки из парадокса Журдена, обрекает на неудачу все попытки доказать ошибочность предсказания.

    Суть нашего парадокса станет особенно ясной, если воспользоваться одной идеей, высказанной в статье Скривена. Предположим, что муж говорит своей жене:
    "Я сделаю тебе ко дню рождения сюрприз. Ты ни за что не догадаешься, какой подарок тебя ожидает. Это тот самый золотой браслет, который ты видела на прошлой неделе в витрине ювелирного магазина".
    Что же теперь делать его несчастной жене? С одной стороны, она знает, что муж никогда не лжет и всегда выполняет свои обещания. Однако если он все же подарит ей золотой браслет, то это уже не будет сюрпризом и тогда обещание окажется невыполненным, то есть муж сказал ей неправду. А если это так, то к каким выводам может она прийти, рассуждая логически? Не исключено, что муж сдержит слово и подарит ей браслет, нарушив обещание удивить ее неожиданным подарком. С другой стороны, он может сдержать свое слово, что подарок будет неожиданным, но нарушить второе обещание и вместо золотого браслета подарит ей, например, новый пылесос. Поскольку муж своим утверждением сам себе противоречит, у нее нет никаких разумных оснований предпочесть одну из этих возможностей другой, следовательно, у нее нет оснований надеяться на золотой браслет. Нетрудно догадаться, что будет дальше: когда. в день рождения муж преподнесет ей браслет, подарок мужа окажется для нее приятным сюрпризом, поскольку его нельзя предсказать заранее никакими логическими рассуждениями. Муж все время знал, что может сдержать слово и сдержит его. Жена же этого не знала до тех пор, пока обещанное событие не произошло. Утверждение мужа, которое еще вчера казалось ей чепухой и ввергло ее в запутаннейший клубок логических противоречий, сегодня вдруг стало абсолютно правильным и непротиворечивым благодаря появлению долгожданного золотого браслета.

    На примере рассмотренных парадоксов мы ясно ощутили волшебную силу слова (или, точнее, если воспользоваться выражением Бурбаки, силу "вольности речи"). Она-то и делает парадоксы столь сложными и вместе с тем столь привлекательными.

    Очень многие читатели сообщили о весьма остроумных попытках решения парадокса об осужденном, которого должны повесить в не предсказуемый заранее день недели. Некоторые из них даже посвятили решению парадокса целые статьи в серьезных журналах.

    Л. Экбом, преподаватель математики из Стокгольма, сообщил нам историю, которая вполне могла послужить поводом для формулировки парадокса о неожиданной казни. Как-то раз в 1943 или 1944 году шведское радио сообщило о том, что на следующей неделе намечено объявить учебную воздушную тревогу. Чтобы проверить готовность войск ПВО, учения решено провести внезапно, так что даже утром в день тревоги ни один человек не сможет предугадать, в котором часу она будет объявлена. Автор письма усмотрел а этом логический парадокс и обсудил его со своими студентами. В 1947 году один из этих студентов, будучи в Принстоне, услышал какой-то из вариантов того же парадокса из уст известного математика и логика Курта Гёделя. Далее автор пишет, что сначала он никак не связывал происхождение обсуждаемого парадокса со случаем объявления тревоги но шведскому радио, но это событие вполне могло быть источником парадокса, поскольку Куайн впервые узнал об этом парадоксе в начале сороковых годов.

    Ниже вы прочтете два письма, авторы которых вовсе не пытаются разрешить парадокс, но приводят ряд весьма забавных (и запутанных) рассуждений.

    Уважаемая редакция!

    При чтении статьи о парадоксе с яйцом-сюрпризом создается впечатление, будто автор, логически доказав, что яйцо не может лежать ни в одной из коробок, был несколько удивлен, обнаружив его в коробке с номером 5. На первый взгляд это и в самом деле удивительно, но после тщательного анализа задачи можно доказать, что яйцо всегда будет находиться в коробке 5.

    Доказательство проводится следующим образом.

    Пусть S — множество всех утверждений, а Т — множество всех правильных (истинных) утверждений. Любой элемент множества (то есть любое утверждение) может принадлежать либо множеству Т, либо множеству С = S - Т. то есть дополнению множества Т, но не может принадлежать тому и другому множеству одновременно. Рассмотрим следующие два утверждения:
1. Каждое утверждение, написанное в этом прямоугольнике, принадлежит множеству С.
2. Яйцо всегда должно лежать и коробке 5.
    Утверждение 1 принадлежит либо множеству Т, либо множеству C, но не тому и другому одновременно.
    Если утверждение 1 принадлежит множеству Т, то оно истинно. Но если оно истинно, то любое утверждение, написанное в прямоугольной рамке — в том числе и утверждение 1, — принадлежит множеству С. Таким образом, предположив, что утверждение 1 принадлежит множеству Т, мы получим, что оно принадлежит множеству С, то есть придем к противоречию.
    Предположим теперь, что утверждение 1 принадлежит множеству С. Тогда нам придется рассмотреть два случая:
случай, когда утверждение 2 принадлежит множеству С, и случай, когда утверждение 2 принадлежит множеству Т.
    Пусть утверждение 2 принадлежит множеству С, тогда утверждения 1 и 2, то есть оба утверждения, обведенные прямоугольной рамкой, принадлежат множеству С. Именно в этом и состоит утверждение 1; следовательно, оно истинно и должно принадлежать множеству Т. Таким образом, предположив, что оба утверждения 1 и 2 принадлежат множеству С, мы получили, что утверждение I принадлежит множеству Т, то есть опять пришли к противоречию.
    Если же утверждение 2 принадлежит множеству Т (а утверждение 1 — множеству С), то утверждение I, смысл которого сводится к тому, что каждое из утверждений, заключенных в прямоугольную рамку, принадлежит множеству С, противоречит тому, что утверждение 2 есть элемент множества Т. Следовательно, утверждение 1 ложно и должно принадлежать множеству С в полном соответствии со сказанным выше.
    Таким образом, существует единственный непротиворечивый случай: когда утверждение 1 принадлежит множеству С, а утверждение 2 — множеству Т. Последнее означает, что утверждение 2 истинно.
    Следовательно, яйцо будет всегда лежать в коробке 5.
    Как видите, особенно удивляться, обнаружив яйцо в коробке 5. не стоит.

Дж. Вэриэн
Д. С. Беркс
Станфордский университет, штат Калифорния.

    Уважаемая редакция!

    Я с огромным интересом прочитал парадокс о человеке. приговоренном к повешению. Не могу не заметить, что если бы наш узник был квалифицированным статистиком, то он предпочел бы, чтобы казнь назначили на среду, то есть на четвертый день недели. В самом деле, пусть известно, что заключенного могут повесить только один раз. Предположим, что судья назначает день казни случайным образом. Тогда вероятность того, что заключенному придется ждать казни х дней, равна р(х) = 1/7, иначе говоря, любое число дней от вынесения приговора до казни равновероятно. Эта задача является простым частным случаем более общего гипергеометрического распределения вероятности где р(х) — вероятность того, что для получения k благоприятных исходов необходимо провести х испытаний, причем известно, что h "кандидатов" в благоприятные исходы случайно распределены среди общего числа N возможных исходов. В нашей задаче N = 7 (если учесть, что одного повешения более чем достаточна), h = k = 1. Тогда математическое ожидание, или среднее значение, х составляет 1/7(1-(-2-(-...-т-7) = 4 дня. Мне, однако, кажется, что никогда нельзя забывать о некоторых особенно въедливых читателях, которые исключат из рассмотрения среду на том основании, что она является "ожидаемым" днем.